Parce qu'il n'y a plus de courant dans la pile

NON,

On ne peut pas dire que la pile contienne du courant.

Le courant dans un métal est un déplacement des électrons libres vers la borne positive.
La pile ne stocke donc aucun courant.

En fait, lors de son utilisation, la pile bien sûr, produit des éléctrons qui circulent dans le circuit extérieur : c'est le courant électrique.

D'où proviennent ces électrons ?

Les électrons sont produits à la borne négative qui est constituée de zinc dans les piles salines.
La transformation chimique produit des ions zinc, ce qui a pour effet de "ronger" l'enveloppe de zinc.

Voilà pourquoi la pile ne présente plus le même aspect après son utilisation.