3 - Détermination de la masse du compagnon
Cadre d'étude
 | La masse d'une planète tellurique, comme la Terre MT = 6 .1024 kg, est près de 1 000 fois plus faible que celle d'une planète gazeuse, comme Jupiter MJ = 2.1027 kg. L'étoile E (masse M) a un astre compagnon C de masse m ; on notera O le centre de masse de ce système binaire. R est la distance de O à E et r la distance de O à C. On notera V la vitesse linéaire de rotation de l'étoile E de masse M et v la vitesse linéaire de rotation de l'astre compagnon de masse m dans le repère barycentrique. Pour simplifier, on se placera dans l'hypothèse d'orbites circulaires. |
Question
Appliquer la deuxième loi de Newton au compagnon dans le référentiel du centre de masse.
Le PFD appliqué au compagnon dans le référentiel du centre de masse s'écrit
Question
Donner l'expression de la vitesse linéaire v de rotation du compagnon dans le référentiel barycentrique en fonction de r et de la période du système binaire, T.
La vitesse linéaire de rotation du compagnon dans le référentiel barycentrique s'écrivant
où T est la période du système binaire.
Question
En insérant l'expression précédente dans celle du PFD, montrer que l'on peut écrire (équation E1)
En insérant l'expression de la vitesse dans la relation issue du PFD,
soit
Question
Exprimer R en fonction de Vrad, R et i. Insérer cette expression dans (E1).
Comme 
et 
Question
Calculer R puis r à l'aide des données suivantes :
G = 6.67. 10–11 N.m2.kg–2
Vrad = 23,1 km.s–1
T = 10,34 jours ≈ 9,0.105 s
M = 1,05 Msolaire = 1,05 x 2,0.1030 = 2,1.1030 kg
sin i = 1 (par défaut), calculer R puis r.
r = 0,275 x R = 1,2.1010 m
Question
Utiliser l'égalité des accélérations centripètes de l'étoile et de son compagnon pour établir que
L'égalité des accélérations centripètes fournit la relation
d'où l'on extrait
Question
En utilisant l'expression des vitesses v et V en fonction des paramètres orbitaux, en déduire l'expression de m en fonction de r, R et M.
En utilisant les expressions de v et V en fonction de r, R et T, il vient
Question
Calculer m. Conclure quant à la taille et à la luminosité probable du compagnon.
m = 0,275 M = 5,8.1029 kg
Le compagnon C de l'étoile E est donc une étoile naine, dont la faible masse semble indiquer qu'elle n'émet pratiquement pas dans le visible !
Remarque : le fait de prendre sin i = 1 donne R par défaut. Si sin i diminue, R augmente, r diminue et donc m augmente. Sin i = 1 donne donc la masse de m par défaut.
