4 - Cas d'une éventuelle exoplanète
Cadre d'étude
La masse d'une exoplanète – même géante – étant très inférieure à la masse d'une étoile, R est négligeable par rapport à r.
Question
Dans l'expression de la 3ème loi de Kepler (orbite circulaire)
substituer T à son expression en fonction de R et V pour montrer que
Par définition,
Ainsi,
Question
Substituer V à son expression en fonction de R et T pour montrer que
En multipliant l'expression précédente haut et bas par V,
puis en utilisant à nouveau l'expression V = 2πR/T,
soit
Question
Utiliser le résultat de la partie précédente (expression de m en fonction de R, r et M) pour établir l'expression
Comme nous l'avons montré,
L'expression précédente devient
où l'on peut isoler m
et prendre la racine cubique
Question
A quelle masse de compagnon correspond une vitesse de rotation 1 000 fois plus faible ? une période 1 000 fois plus faible ? Conclure sur le facteur prépondérant (V ou T).
Le facteur le plus important est V : une vitesse de rotation 1000 fois plus faible correspond à une masse de compagnon 1000 fois plus faible, alors qu'une période de révolution 1000 fois plus faible ne correspond qu'une masse 10001/3 = 10 fois plus faible seulement.
Pour la plupart des exoplanètes, la période T de révolution est comprise entre 3 et 3000 jours.
Question
Pour une exoplanète géante, quel est l'ordre de grandeur de la vitesse radiale Vrad (qui est du même ordre de grandeur que V) ? On rappelle que MJupiter est de l'ordre de 1000 fois plus petite que la masse solaire Msolaire.
L'ordre de grandeur de la vitesse radiale Vrad, qui est du même ordre de grandeur que V vitesse de rotation d'une exoplanète géante , est compris entre le m/s et la centaine de m/s car MJupiter est de l'ordre de 1000 fois plus petit que la masse solaire Msolaire.
L'ordre de grandeur de la vitesse radiale Vrad d'une exoplanète tellurique est compris
entre le mm/s et le dixième de m/s car MTerre est de l'ordre de 106 fois plus petit que la masse solaire Msolaire.
Par exemple, autour de l'étoile 51-Peg, de masse M = Msolaire = 2,0.1030 kg, gravite sur une orbite quasi circulaire un astre compagnon appelé 51-PegasiB de masse m.
Dans le repère barycentrique de ce système double, la vitesse radiale Vrad de l'étoile 51-Peg est de 60 m/s et sa période T vaut 4,2 jours.
En utilisant la relation
on obtient : m =9,1.1026 kg soit 0,45 MJupiter .
Ainsi, m est du même ordre de grandeur que la masse de Jupiter : 51-PegasiB est une exoplanète géante.
Ouverture
On peut détecter actuellement expérimentalement par effet Doppler-Fizeau une exoplanète géante en prenant en compte des milliers de raies du spectre de l'étoile pour atteindre ce type d'ordre de grandeur pour la vitesse radiale.
Par contre on ne peut pas détecter actuellement (2006) expérimentalement par effet Doppler-Fizeau une exoplanète tellurique : les vitesses radiales en jeu sont trop faibles !
En savoir plus sur les binaires spectroscopiques : http://wwwhip.obspm.fr/~arenou/Wiki/Binaire_spectroscopique.html
En savoir plus sur HARPS (High Accuracy Radial velocity for Planetary Search) : http://www.astrosurf.com/rondi/harps/harps.htm
